La loi de Poisson : une loi de probabilité discrète pour les événements rares
La loi de Poisson est une loi de probabilité discrète qui s'applique aux événements rares. Elle est largement utilisée dans plusieurs domaines, notamment en statistique, en physique, en biologie, en économie, en finance, etc. Dans ce qui suit, nous allons explorer les caractéristiques et les propriétés de cette loi, ainsi que son application dans des exemples concrets.
Définition et propriétés de la loi de Poisson
La loi de Poisson décrit la probabilité qu'un événement se réalise durant un intervalle de temps donné, sachant que cet événement est rare et qu'il se produit de manière aléatoire et indépendante. Cette loi est caractérisée par un seul paramètre, noté lambda (λ), qui représente la moyenne du nombre d'événements sur cet intervalle de temps. La variable aléatoire qui suit la loi de Poisson est notée X, et elle peut prendre les valeurs 0, 1, 2, 3,...
La fonction de probabilité de la loi de Poisson est donnée par :
P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!
où k est un entier positif ou nul, e est la constante mathématique e=2,71828..., et k! est la factorielle de k.
Les principales propriétés de la loi de Poisson sont les suivantes :
- La somme de variables aléatoires indépendantes qui suivent une loi de Poisson de même paramètre λ est également une loi de Poisson de paramètre nλ, où n est le nombre de variables sommées.
- Le nombre moyen d'événements sur un intervalle de temps T est donné par λT.
- La variance du nombre d'événements sur un intervalle de temps T est également égale à λT.
Application de la loi de Poisson
La loi de Poisson est couramment utilisée pour modéliser des phénomènes qui satisfont les conditions suivantes :
- Le nombre d'événements est petit par rapport à la durée de l'observation.
- Les événements se produisent de manière aléatoire et indépendante.
- La probabilité de chaque événement est faible.
Parmi les exemples courants d'application de la loi de Poisson, on peut citer :
- Le nombre de défauts dans une chaîne de production, sachant que la probabilité d'un défaut est faible et que les défauts se produisent de manière aléatoire et indépendante.
- Le nombre d'appels téléphoniques reçus par une entreprise sur une période donnée, sachant que la probabilité d'un appel est faible et que les appels se produisent de manière aléatoire et indépendante.
- Le nombre d'accidents de la route sur une section déterminée, sachant que la probabilité d'un accident est faible et que les accidents se produisent de manière aléatoire et indépendante.
Moments factoriels et cumulants de la loi de Poisson
Les moments factoriels de la loi de Poisson sont donnés par :
μ_n = E(X^n) = λ^n / (n!)
où E(X^n) est le n-ème moment de la variable aléatoire X. Les moments factoriels permettent de calculer les moments centrés et les coefficients de variation de la loi de Poisson.
Les cumulants de la loi de Poisson sont donnés par :
κ_1 = λ κ_n = λ pour tout n>1
où κ_n est le n-ème cumulant de la variable aléatoire X. Les cumulants permettent de calculer les moments centrés à partir des moments factoriels.
Exemple d'application de la loi de Poisson
Supposons qu'une entreprise reçoit en moyenne 5 appels téléphoniques par heure. Nous pouvons modéliser le nombre d'appels en utilisant une loi de Poisson de paramètre λ=5.
La probabilité qu'il y ait exactement k appels en une heure est donnée par :
P(X=k) = (e^(-5) * 5^k) / k!
Par exemple, la probabilité qu'il y ait exactement 3 appels en une heure est donnée par :
P(X=3) = (e^(-5) * 5^3) / 3! ≈ 0,1404
La probabilité qu'il y ait moins de 3 appels en une heure est donnée par :
P(X<3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) ≈ 0,2650
La probabilité qu'il y ait au moins 3 appels en une heure est donnée par :
P(X≥3) = 1 - P(X<3) ≈ 0,7350
Nous pouvons également calculer la moyenne et la variance du nombre d'appels en une heure :
E(X) = λ = 5 V(X) = λ = 5
Cela signifie que l'entreprise peut s'attendre à recevoir en moyenne 5 appels par heure, et que la variance du nombre d'appels est également de 5. Ces résultats peuvent être utilisés pour planifier le personnel et les ressources nécessaires pour répondre aux appels, ainsi que pour évaluer les performances de l'entreprise en termes de satisfaction client.
En conclusion, la loi de Poisson est une loi de probabilité discrète utile pour modéliser les événements rares qui se produisent de manière aléatoire et indépendante. Cette loi est caractérisée par un seul paramètre, lambda, qui représente la moyenne du nombre d'événements sur un intervalle de temps donné. La loi de Poisson trouve de nombreuses applications dans différents domaines, tels que la production, les télécommunications, la sécurité routière, etc.
Loi de Poisson - Wikipédia
fr.wikipedia.org/wiki/Loi_d...Loi de Poisson - jybaudot.fr
www.jybaudot.fr/Probas/loip...Loi de Poisson
ressources.univ-lemans.fr/A...Loi de Poisson : définition et explications - Techno-Science.net
www.techno-science.net/defi...Loi de Poisson - Bibm@th
www.bibmath.net/dico/index....Loi de Poisson : Cours et exercices corrigés - Progresser-en-maths
progresser-en-maths.com/loi...[PDF] lois de poisson - Chlorofil
chlorofil.fr/fileadmin/user...loi de Poisson - Mon Lycée Numérique
www.monlyceenumerique.fr/ma...Les distributions statistiques - loi de poisson
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www.foad.uadb.edu.sn/mod/bo...La loi de Pareto, plus communément appelée "loi de Pareto" ou "loi de la pauvreté ou loi de poisson", est un concept développé par l'économiste italien Vilfredo Pareto au début du 20ème siècle. La loi estime que 80% des effets peuvent être attribués à 20% des causes. L'idée est que le 20% des causes les plus importantes génèrent la majorité des effets.
Cette loi appliquée à l'économie et à la finance, est profondément ancrée dans l'investissement, le marketing, la gestion des risques et même les politiques publiques. En termes simples, elle peut être appliquée pour soutenir que 80% des résultats sont générés par 20% des efforts. Par exemple, les entreprises peuvent utiliser cette loi pour dire que 80% des bénéfices peuvent être attribués à seulement 20% des produits.
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Source : Le Vadrouilleur Urbain
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Source : ArtActu.com